Question

8．如图，定点C、动点D在⊙O上，并且位于直径AB的两侧，AB=5，AC=3，过点C在作CE⊥CD交DB的延长线于点E，则线段CE长度的最大值为（　　）

• A． 5
• B． 8
• C． $\frac{32}{5}$
• D． $\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 当CD是直径时，CE最长，由AB是直径，得到∠ACB=90°，利用勾股定理得出BC的长度，又因为∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，推出△ABC∽△DCE，根据相似三角形的性质列方程求解．

解答 解：当CD是直径时，CE最长，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，
∵∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$，
即$\frac{3}{5}=\frac{4}{CE}$，
∴CE=$\frac{20}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，确定CE什么时候取最大值是解题的关键．