Question

20．已知，如图?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F
（1）求证：AF=EC；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析 （1）证明△AOF≌△COE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求出AC绕点0顺时针旋转的度数．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=EC；
（2）∵△AOF≌△COE，
∴OE=OF，又OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
由勾股定理，AC=2，
则OA=1，又AB=1，∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∴AC绕点0顺时针旋转45°时，四边形BEDF是菱形．

点评 本题考查的是菱形的判定，正确运用三角形全等的判定定理、平行四边形的判定和性质定理以及旋转的知识的解题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．