Question

3．请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

Answer 1

分析 （1）利用三角形外角的性质求解即可求得答案；
（2）应该是连接OA，∠COB=∠A+∠B+∠C=2∠A．
（3）应该是连接AO并延长交圆于点D，∠COD=2∠OAC，∠BOD=2∠OAB，∠BOC=∠COD-∠BOD=2（∠OAC-∠OAB）=2∠BAC

解答 证明：①如图（1），当点O在∠BAC的一边上时，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∵∠BOC=∠A+∠C，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC；

②如图（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则
∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC．

③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则
∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC．

点评 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．