Question

【题目】已知：如图1，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．

（1）求证：AE=AF；
（2）如图2，若∠BAC=60°，△ABD的面积为4，连接AD交EF于M，连接BM、CM，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为1的三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠DFB=∠DEC=90°，

在RT△DBF和RT△DCE中，

，

∴△DBF≌△DCE，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，∵BF=CE，

∴AF=AE．

（2）

解：∵AF=AE，

∠AFE=∠AEF，

∵∠A+2∠AFE=180°，∠A+2∠B=180°，

∴∠AFE=∠B，

∴EF∥BC，

∵BD=DC，

∴S△BDF=S△BDM=S△CDM=S△CDE，

设BD=a，∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，AD= BD= a，

∴S△ABD= a a=4，

∴a2=

∴S△BDF= BFDF= a a= a2=1，

∴S△BDF=S△BDM=S△CDM=S△CDE=1

【解析】（1）由△DBF≌△DCE得∠B=∠C，根据等角对等边得AB=AC，由此即可证明．（2）首先证明EF∥BC，得S△BDF=S△BDM=S△CDM=S△CDE ， 设BD=a，根据S△ABD=4得出a2= ，再求出S△BDF=1，由此即可解决问题．