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【题目】如图,抛物线的顶点为C1﹣2),直线y=kx+m与抛物线交于AB来两点,其中A点在x轴的正半轴上,且OA=3B点在y轴上,点P为线段AB上的一个动点(点P与点AB不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E

1)求直线AB的解析式.

2)设点P的横坐标为x,求点E的坐标(用含x的代数式表示).

3)求ABE面积的最大值.

【答案】1)直线AB解析式为y=x

2E点的坐标为(x x2x);

3ABE面积的最大值为

【解析】试题分析:(1)由条件可先求得抛物线解析式,则可求得B点坐标,再利用待定系数法可求得直线AB解析式;

(2)由条件可知P、E的横坐标相同,又点E在抛物线上,则可表示出E点坐标;

(3)由(2)可用x表示出PE的长,则可用x表示出ABE的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值.

试题解析:(1)∵抛物线顶点坐标为(1,﹣2),

可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣2,

OA=3,且点A在x轴的正半轴上,

A(3,0),

0=a3122,解得a=

抛物线解析式为y=x12﹣2=x2x,当x=0时可得y=

B0),

设直线AB解析式为y=kx+b,把AB坐标代入可得,解得

y=x

(2)∵点P为线段AB上的一个动点,且PEx轴

点E的横坐标为x

点E在抛物线上

E点的坐标为(x x2x);

(3)∵点P为线段AB上的一点

Px x),则Ex x2x),

PE=x﹣(x2x)=﹣x2+x

由(2)可知点B到PE的距离x,点A以PE的距离为3﹣x,

SABE=PEx+PE3x=PEx+3x=PE=(﹣x2+x=x2+x=x2+

∵﹣<0,

x=时,SABE有最大值,最大值为

∴△ABE面积的最大值为

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