【题目】如图,线段AC∥x轴,点B在第四象限,AO平分∠BAC,AB交x轴于G,连OB,OC.
(1)判断△AOG的形状,并证明;
(2)如图1,若BO=CO且OG平分∠BOC,求证:OA⊥OB;
(3)如图2,在(2)的条件下,点M为AO上的一点,且∠ACM=45°,若点B(1,﹣2),求M的坐标.
【答案】
(1)
解:∵AO平分∠BAC,
∴∠CAO=∠BAO,
∵线段AC∥x轴,
∴∠CAO=∠AOG,
∴∠BAO=∠AOG,
∴GO=GA,
∴△AOG是等腰三角形
(2)
解:如图1,
连接BC,
∵BO=CO且OG平分∠BOC,
∴BF=CF,
∵线段AC∥x轴,
∴AG=BG,
由(1)得OG=AG,
∴OG= AB,
∴△AOB是直角三角形,
∴OA⊥OB,
(3)
解:如图2,连接BC,
由(2)有,BF=CF,BC⊥OG,
∵点B(1,﹣2),
∴BF=2,OF=1,
在Rt△BFG中,BF=2,BG=FG+1,
根据勾股定理得,(FG+1)2=FG2+4,
∴FG= ,
∵AC∥OG,AG=BG,
∴AC=2FG=3,
由(2)有,BF=CF,BC⊥OG,
∵点B(1,﹣2),
∴C(1,2),A(4,2),
∴直线OA解析式为y= x①,
延长CM交x轴于E,
∵∠ACM=45°,
∴∠CEO=45°,
∴FE=FC=2,
∴E(3,0),
∵C(1,2),
∴直线AE解析式为y=﹣x+3②,
联立①②解得x=2,y=1,
∴M(2,1).
【解析】(1)由角平分线得出∠CAO=∠BAO,由平行线得出∠CAO=∠AOG,即∠BAO=∠AOG,即可;(2)先判断出点F是BC中点,再用中位线得出AG=BG,从而判断出△AOB是直角三角形,即可;(3)先求出OG,从而求出AC,得出点A,C坐标,最后求出直线OA,CM的解析式,即可求出它们的交点坐标.
【考点精析】利用角平分线的性质定理和等腰三角形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上;等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).
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【题目】如图是二次函数图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出以下结论:
①abc<0,②>0,③4b+c<0,④若B(,)、C(,)为函数图象上的两点,则,⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0.
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号) .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.
(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)
(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?
参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)
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【题目】如图,抛物线的顶点为C(1,﹣2),直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点,其中A点在x轴的正半轴上,且OA=3,B点在y轴上,点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E.
(1)求直线AB的解析式.
(2)设点P的横坐标为x,求点E的坐标(用含x的代数式表示).
(3)求△ABE面积的最大值.
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【题目】已知:如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠ABC=∠BCD=90°,BD与AC相交于点E,AB=9,cos∠BAC=,tan∠DBC=.
求:(1)边CD的长;
(2)△BCE的面积.
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