Question

【题目】已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上.将沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．

（1）求出OC的长？

（2）点E、F是直线BC上的两点，若是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（3）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OC的长为3；（2）或；（3）或或．

【解析】

（1）先根据一次函数的解析式可得点A、B坐标，从而可得OA、OB、AB的长，再根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得；

（2）如图，先由（1）得出点C坐标，再利用待定系数法可求出直线BC的函数解析式，从而可得出直线AG的函数解析式，然后联立直线BC、AG的函数解析式可求出点G的坐标，从而可得AG的长，最后根据等腰直角三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；

（3）先求出点M坐标，再利用待定系数法可求出直线CM的函数解析式，设点Q的坐标为，然后分MQ为所构成的平行四边形的边和MQ为所构成的平行四边形的对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质、两点之间的距离公式列出等式求解即可．

（1）对于

当时，，解得，则点A坐标为

当时，，则点B坐标为

由折叠的性质得：

，

设，则

在中，，即

解得

故OC的长为3；

（2）由（1）可得：点C坐标为

设直线BC的解析式为

将点，代入得：，解得

则直线BC的解析式为

如图，过点A作直线BC的垂线，交直线BC于点G

则可设直线AG的解析式为

将点代入得：，解得

则直线AG的解析式为

联立，解得

即点G坐标为

由两点之间的距离公式得：

点E、F是直线BC上的两点，且是以EF为斜边的等腰直角三角形

设点F的坐标为

则有

整理得：

解得或

当时，

当时，

则点F的坐标为或；

（3）由题意得：点M坐标为，即

设直线CM的函数解析式为

将点、代入得：，解得

则直线CM的函数解析式为

因为点Q在直线AB：上

所以可设点Q的坐标为

由平行四边形的定义，分以下两种情况：

①MQ为所构成的平行四边形的边，则

设直线CP的函数解析式为

将点代入得：，解得

则直线CP的函数解析式为

当时，，则此时点P坐标为

由两点之间的距离公式得：

则

解得或

当时，

当时，

因此，此时点Q的坐标为或

②MQ为所构成的平行四边形的对角线，则

设直线PQ的函数解析式为

将点代入得：，解得

则直线PQ的函数解析式为

当时，，则此时点P坐标为

由两点之间的距离公式得：

解得或

当时，

此时点Q的坐标为，点P的坐标为，则MQ不是所构成的平行四边形的对角线，不符题设，舍去

当时，

因此，此时点Q的坐标为

综上，所求的点Q的坐标为或或．