Question

3．直线y=-x+1交y轴于C点，直线y=-$\frac{1}{2}$x，两条直线分别交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于B、A两点，若$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（1）求k的值；
（2）求四边形0ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意设点A坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m）、点B坐标为（n，-n+1），根据反比例系数等于任一点的横纵坐标乘积得出m、n的关系式①，表示出OA²、BC²，由$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$得出m、n间的关系式②，由①②可求出n的值，即可得k；
（2）由（1）求出A、B、D点坐标，根据S_{四边形0ABC}=S_{正方形OPDQ}-S_△OPA-S_△ABD-S_△BCQ列式可求面积．

解答 解：（1）如图，过点A作PD∥y轴，交x轴于点P，过点B作DQ∥x轴，交y轴于点Q，PD与DQ相交于点D，

根据题意设点A坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m），点B坐标为（n，-n+1），
则OA²=m²+（-$\frac{1}{2}$m）²=$\frac{5}{4}$m²，BC²=n²+（-n+1-1）²=2n²，
又∵点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=m•（-$\frac{1}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m²
k=n（-n+1）=-n²+n，
则-n²+n=-$\frac{1}{2}$m² 即：m²=2n²-2n，①
∵$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\frac{O{A}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，即：$\frac{\frac{5}{4}{m}^{2}}{2{n}^{2}}=\frac{5}{2}$，
整理可得：m²=4n²，②
联立①②，可得：4n²=2n²-2n，
解得：n=0（舍）或n=-1，
故k=-n²+n=-2；
（2）由（1）知，k=-2时，m²=-2k=4，解得：m=2（舍）或m=-2，
故A点坐标为（2，-1）
∵n=-1，
∴B点坐标为（-1，2），D点坐标为（-2，2），
则S_{四边形0ABC}=S_{正方形OPDQ}-S_△OPA-S_△ABD-S_△BCQ
=2×2-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×1×1
=2．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据双曲线上点的坐标特点及线段长度比得出m、n的关系式是解题关键．