Question

如图1在平面直角坐标系中，⊙O₁与x轴切于A（-3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．

（1）求证：∠ABO₁=∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，过A、B两点作⊙O₂与y轴的正半轴交于M，与O₁B的延长线交于N，当⊙O₂的大小变化时，得出下列两个结论：①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．

Answer 1

解：（1）连接O₁A，则O₁A⊥OA，又OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，
∴∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（2）作O₁E⊥BC于点E，
∴E为BC的中点，
∵BC=8，∴BE=BC=4，
∵A（-3，0），
∴O₁E=OA=3，
在直角三角形O₁BE中，
根据勾股定理得：O₁B==5，
∴O₁A=EO=5，
∴BO=5-4=1，
在直角三角形AOB中，
根据勾股定理得：AB==；

（3）①BM-BN的值不变，理由为：
证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO₁为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠NMA，又∠ABO₁=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
∵，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变．
分析：（1）连接O₁A，由圆O₁与x轴切于A，根据切线的性质得到O₁A垂直于OA，由OB与AO垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O₁A与OB平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O₁A=O₁B，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO₁=∠ABO，得证；
（2）作O₁E⊥BC于点E，根据垂径定理得到E为BC的中点，由BC的长求出BE的长，再由A的横坐标得出OA的长，即为O₁E的长，在直角三角形O₁BE中，根据勾股定理求出O₁B的长，用OE-BE求出OB的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理即可求出AB的长；
（3）两个结论中，①BM-BN的值不变正确，理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，由∠ABO₁为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO₁=∠NMA，再由∠ABO₁=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG为常数得到BM-BN的长不变，得证．
点评：此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．