【题目】(14分)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,请解决下列问题.
(1)填空:点C的坐标为( , ),点D的坐标为( , );
(2)设点P的坐标为(a,0),当最大时,求a的值并在图中标出点P的位置;
(3)在(2)的条件下,将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′,设点C对应点C′的横坐标为t(其中0<t<6),在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t之间的关系式,并直接写出当t为何值时S最大,最大值为多少?
【答案】(1)C(0,3),D(1,4);(2)a=﹣3;(3)S=,当t=时,S有最大值.
【解析】试题分析:(1)令x=0,得到C的坐标,把抛物线配成顶点式,可得顶点D的坐标;
(2)延长CD交x轴于点P.因为小于或等于第三边CD,所以当等于CD时, 的值最大.因此求出过CD两点的解析式,求它与x轴交点坐标即可;
(3)过C点作CE∥x轴,交DB于点E,求出直线BD的解析式,得到点E的坐标,求出P′C′与BC的交点M的坐标,分两种情况讨论:①点C′在线段CE上;②点C′在线段CE的延长线上,再分别求得N点坐标,再利用图形的面积的差,可表示出S,再求得其最大值即可.
试题解析:(1)在中,令x=0,得到y=3,∴C(0,3),∵=,∴D(1,4),故答案为:C(0,3),D(1,4);
(2)∵在三角形中两边之差小于第三边,∴延长DC交x轴于点P,设直线DC的解析式为,把D、C两点坐标代入可得: ,解得: ,∴直线DC的解析式为,将点P的坐标(a,0)代入得a+3=0,求得a=﹣3,如图1,点P(﹣3,0)即为所求;
(3)过点C作CE∥x,交直线BD于点E,如图2,
由(2)得直线DC的解析式为,易求得直线BD的解析式为,直线BC的解析式为,在中,当y=3时,x=,∴E点坐标为(,3),设直线P′C′与直线BC交于点M,∵P′C′∥DC,P′C′与y轴交于点(0,3﹣t),∴直线P′C′的解析式为,联立: ,解得: ,∴点M坐标为(, ),∵B′C′∥BC,B′坐标为(3+t,0),∴直线B′C′的解析式为,
分两种情况讨论:①当时,如图2,B′C′与BD交于点N,联立:,解得: ,∴N点坐标为(3﹣t,2t),S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣(6﹣t)×(6﹣t)﹣t×2t=,其对称轴为t=,可知当时,S随t的增大而增大,当t=时,有最大值;
②当时,如图3,直线P′C′与DB交于点N,
联立: ,解得: ,∴N点坐标为(, ),S=S△BNP′﹣S△BMP′=(6﹣t)×﹣×(6﹣t)×==;
显然当<t<6时,S随t的增大而减小,当t=时,S=
综上所述,S与t之间的关系式为S=,且当t=时,S有最大值,最大值为.
∵,∴当t=时,S有最大值.
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【题目】李老师为了了解本班学生作息时间,调查班上50名学生上学路上所花的时间,他发现学生所花时间都少于50min,然后将调查数据整理,作出如图15所示的频数直方图的一部分.
(1)补全频数直方图;
(2)该班学生在路上花费的时间在哪个范围内最多?
(3)该班学生上学路上花费时间在30min以上(含30min)的人数占全班人数的百分比是多少?
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【题目】如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动,且过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒.
(1)当t=2时,则AP= ,此时点P的坐标是 。
(2)当t=3时,求过点P的直线l:y=-x+b的解析式?
(3)当直线l:y=-x+b从经过点M到点N时,求此时点P向上移动多少秒?
(4)点Q在x轴时,若S△ONQ=8时,请直按写出点Q的坐标是 。
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【题目】在平面直角坐标系中,O是坐标原点,ABCD的顶点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(0,2),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点.
(Ⅰ)如图1,求∠DAO的大小及线段DE的长;
(Ⅱ)过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G.连接OE,△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形,记直线EF′与射线DC的交点为H,△EHC的面积为3 .
①如图2,当点G在点H的左侧时,求GH,DG的长;
②当点G在点H的右侧时,求点F的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验,结果如下表所示:
种子个数 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
发芽种子个数 | 94 | 187 | 282 | 338 | 435 | 530 | 621 | 781 | 814 | 901 |
发芽种子频率 | 0.940 | 0.935 | 0.940 | 0.845 | 0.870 | 0.883 | 0.891 | 0.898 | 0.904 | 0.901 |
根据频率的稳定性,估计该作物种子发芽的概率为__________(结果保留小数点后一位).
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