Question

5．如图，四边形ABCD是长方形（长方形对边相等且平行，四个角为直角），
（1）用直尺和圆规在边CD上找一个点P，使△ADP沿着直线AP翻折后D点正好落在BC边上的Q点（不写作法，保留作图痕迹）．连结AP，AQ，PQ；
（2）在（1）中作的新图形中，已知AB=5，AD=13，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）以A为圆心，以AD为半径交BC于点Q，作出∠DAQ的平分线，交CD于点P；
（2）利用△ABQ∽△QCP，根据相似三角形的对应边的比相等求得CP的值．

解答 解：（1）点P就是所求的图形；

（2）在直角△ABQ中，BQ=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
则QC=BC-BQ=13-12=1，
∵∠AQP=∠ADC=90°，
∴∠AQB+∠PQC=90°，
又∵直角△ABQ中，∠BAQ+∠AQP=90°，
∴∠PQC=∠BAQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCP，
∴$\frac{CP}{BQ}$=$\frac{QC}{AB}$，即$\frac{CP}{12}$=$\frac{1}{5}$，
解得：CP=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．