已知等边三角形ABC和点P.设点P到△ABC的三边AB.AC.BC的距离分别为h1.h2.h3.△ABC的高AM=h.(1)当点P在高AM上时.如图(1)所示.可得结论:h1+h2+h3 h,(2)当点p在△ABC内部时.如图(2)所示,当点P在△ABC的BC边下方时.如图中的结论是否成立?若成立．给予证明,若不成立.请写出h1.h2.h3.h之间新的关系式,(3)当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高AM=h，
（1）当点P在高AM上时，如图（1）所示，可得结论：h₁+h₂+h₃

h；（填“＞”“=”“＜”）
（2）当点p在△ABC内部时，如图（2）所示；当点P在△ABC的BC边下方时，如图（3）所示；这两种情况（1）中的结论是否成立？若成立．给予证明；若不成立，请写出h₁、h₂、h₃、h之间新的关系式；
（3）当点P在直线BC上时，此时h₃=0，请写出h₁、h₂、h之间的关系式．

考点：等边三角形的性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）根据30°角的直角三角形的性质得出PD=PE=

PA，从而求得PD+PE=PA，即可求得h₁+h₂+h₃=h；
（2）把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
（3）把点P与A点连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．

解答：

解：（1）如图1，∵等边三角形ABC中，AM是三角形的高，
∴AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM=

∠BAC=30°，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE=

PA，
∴PD+PE=PA，
∴PD+PE+PM=PA+PM=AM，
即h₁+h₂+h₃=h；

（2）当点P在△ABC内部时，如图2，h=h₁+h₂+h₃成立，理由如下：

连接AP、BP、CP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

BC•AM=

AB•PD+

AC•PF+

BC•PE
即

BC•h=

AB•h₁+

AC•h₂+

BC•h₃
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．
当点P在△ABC外时，如图3，结论h₁+h₂+h₃=h不成立．此时，它们的关系是h₁+h₂-h₃=h．

理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

BC•AM=

AB•PD+

AC•PE-

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．
（3）当点P在直线BC上时，如图4，此时h₃=0，h=h₁+h₂，理由如下：

连接AP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

BC•AM=

AB•PD+

AC•PE，
即

BC•h=

AB•h₁+

AC•h₂
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

点评：此题考查等边三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．

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