Question

已知在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴上，并且OA、OC是方程x²-12x+32=0的两根（OA＜OC），AB⊥y轴、BC⊥x轴，将OC沿对角线OB进行翻折得到OD．求：
（1）点A、点B的坐标；
（2）直线OD的解析式；
（3）在直线OB上是否存在点E，使O、D、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）可求得方程的两根分别为4和8，且OA＜OC，所以求得OA=4，OC=8，又由AB⊥y轴、BC⊥x轴，可知四边形OABC为矩形，所以可求出A、B两点的坐标；
（2）由翻折可知∠DOC=2∠BOC，且tan∠BOC=

4

8

=

1

2

，所以可求得直线OD的解析式，可求其方程；
（3）可以求得OB的直线方程，分三种情况分别求E点即可．

解答：解：
（1）解方程可知方程两根分别为4和8，且OA＜OC，
所以OA=4，OC=8，
又由AB⊥y轴、BC⊥x轴，可知四边形OABC为矩形，
所以A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，4）；

（2）由翻折可知∠DOC=2∠BOC，且tan∠BOC=

4

8

=

1

2

，
所以直线OD的斜率为：k=tan∠DOC=

2tan∠BOC

1-tan2∠BOC

=

4

3

，
所以直线OD的解析式为y=

4

3

x；

（3）B点为（8，4），所以可设直线OB的解析式为y=mx，代入B点坐标，可求得m=

1

2

，所以直线OB的解析式为y=

1

2

x，
在直线OB上有三个点可使△OCE为等腰三角形，
①以OD为底边，在直线OB上确定E₁点，以E₁点到OD距离为高，组成等腰三角形，
因为D点坐标为（4.8，6.4），所以OD中点坐标为（2.4，3.2），
所以OD中垂线的方程为：y=-

3

4

x+5，与OB所在直线方程联立可得方程组

y= 1 2 x y=- 3 4 x+5

，解得

x=4 y=2

，即E₁坐标为（4，2）；
②以OD为一腰，在OB直线上确定E₂点使OD=OE₂，组成等腰三角形，
在OB所在直线上取点E₂，使得OE₂=OD=8，可求得E₂坐标为（

16 5

5

，

8 5

5

），
③以OD为腰，在OB所在直线上确定E₃点，以OE₃为底，组成等腰三角形，
建立垂直于OB且过D点的方程，则直线的斜率为-2，且D为（4.8，6.4），所以其方程为y=-2x+16，
与OB方程联立得方程组：

y= 1 2 x y=-2x+16

，解得

x=6.4 y=3.2

，而E₃坐标为该值的2倍，所以E₃为（12.8，6.4），
综上可知存在满足条件的E点，坐标分别为（4，2）、（

16 5

5

，

8 5

5

）和（12.8，6.4）．

点评：本题主要考查一次函数与方程的综合应用，对（1）中掌握求点的坐标的方法，对（2）中利用翻折得到角之间的关键，对（3）中正确分类是解题的关键．