Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，ED所在直线是线段AB的垂直平分线，若直线ED分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE，求证：EF=2DE．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：求出∠ABC=60°，根据线段的垂直平分线的性质得出∠EDA=90°，AE=BE，求出∠AED=60°，∠ABE=∠A=30°，求出∠EBC=∠ABE，根据角平分线性质求出EC=DE，求出EF=2CE，即可得出答案．

解答：证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵ED所在直线是线段AB的垂直平分线，
∴∠EDA=90°，AE=BE，
∵∠A=30°，
∴∠AED=60°，∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBC=30°=∠ABE，
∵∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴CE=DE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°，
∵∠FEC=∠AED=60°，
∴∠F=30°，
∴EF=2CE，
∵EC=DE，
∴EF=2DE．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．