Question

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB，PD分别交CD于M，交AB于点N，且CM=BM，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=5，sin∠BPD=$\frac{3}{5}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠P=∠C，然后根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AC，根据垂径定理及圆周角定理得到∠P=∠A，∠ACB=90°，则sinA=sinP，然后根据正弦的定义得到=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，得出AB的长即可．

解答 （1）证明：∵CM=BM，
∴∠C=∠CBM，
∵∠C=∠P，
∴∠P=∠CBM，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，如图所示
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠BPD=∠A，
∴sinA=sin∠BPD=$\frac{3}{5}$，
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{5}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
解得：AB=$\frac{25}{3}$，
即⊙O的直径为$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；运用相似三角形的判定与性质证明线段之间的关系；运用正弦的定义进行几何计算．