Question

14．已知：在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为A（-4，0）、B（2，3），AB与y轴相交于点C，点D、E分别在x、y轴上，且S_△BCD=4，∠CEA=∠CBE．求：
（1）点D的坐标；
（2）点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥AB垂足为H，设点D（m，O），由△COA∽△DHA得$\frac{CO}{DH}=\frac{AC}{AD}$求出DH=$\frac{（4+m）\sqrt{5}}{5}$，根据三角形面积公式列出方程解方程即可．
（2）证明△ACE∽△AEB得$\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AB}$即AE²=AC•AB，求出AE，再求出OE即可解决，注意有两种情形．

解答 解：（1）如图所示，作DH⊥AB垂足为H，设点D（m，O），
∵∠CAO=∠DAH，∠COA=∠DHA=90°，
∴△COA∽△DHA，
∴$\frac{CO}{DH}=\frac{AC}{AD}$，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CO=2，AD=4+m
∴DH=|$\frac{（4+m）\sqrt{5}}{5}$|，
∵BC=$\sqrt{{1}^{1}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•|$\frac{（4+m）\sqrt{5}}{5}$|=4，
∴m=4或-12
∴点D坐标为（4，0）或（-12，0）．
（2）设点E（0，n）
∵∠CAE=∠EAB，∠CEA=∠ABE，
∴△ACE∽△AEB，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AB}$，
∴AE²=AC•AB，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴AE²=2$\sqrt{5}$×3$\sqrt{5}$=30，
∵AE＞0，
∴AE=$\sqrt{30}$，
当点E₁在y轴的负半轴上时，OE₁=$\sqrt{30-16}$=$\sqrt{14}$，
∴点E₁坐标为（0，-$\sqrt{14}$），
当E₂在y轴的正半轴上时，OE₂=$\sqrt{30-16}$=$\sqrt{14}$，
∴点E₂坐标为（0，$\sqrt{14}$）．

点评 本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求面积时必须作出高DH，第二个问题关键是利用相似三角形列出比例式求出线段AE的长，属于中考常考题型．