Question

14．现有一列数：a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n-1，a_n（n为正整数），规定a₁=2，a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，…，a_n-a_n-1=2n（n≥2），则a₄=20．若$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{504}{1009}$，则n的值为2017．

Answer 1

分析 根据条件a₁=2，a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，…，a_n-a_n-1=2n（n≥2），求出a₂=a₁+4=6=2×3，a₃=a₂+6=12=3×4，a₄=a₃+8=20=4×5，由此得出a_n=n（n+1）．根据$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$化简$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$，再解方程$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{504}{1009}$即可求出n的值．

解答 解：∵a₁=2，a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，…，a_n-a_n-1=2n（n≥2），
∴a₂=a₁+4=6=2×3，
a₃=a₂+6=12=3×4，
a₄=a₃+8=20=4×5，
…
a_n=n（n+1）．
∵$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{504}{1009}$，
∴$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{504}{1009}$，
解得n=2017．
故答案为20；2017．

点评 本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出a_n=n（n+1）．