Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，0）、点C（0，4），四边形OABC是矩形，以点O为圆心的⊙O过点D（

3

，0），点P从点O出发，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动，直线l为AP的垂直平分线，垂足为E，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，AP与⊙O相切？
（2）请你探究当直线l与⊙O相切时t的值．

Answer 1

分析：（1）设AP与⊙O相切于点H，如图，连接OH，则OH⊥AP，求得AH，再由△AHO∽△AOP得

OH

OP

=

AH

OA

，即可得出OP；从而求出t的值；
（2）设直线l与⊙O相切于点F，分两种情况讨论：①当P在OC上时，如图，连接OF，设OG=x，AE=y，则AG=6-x，AP=2y．由△OFG∽△AEG，和由△AEG∽△AOP即可得出t；②当P在AB上时，如图，AE=OQ=

3

，则AP=2AE=2

3

，从而得出t，即直线l与⊙O相切；③当P在BC上时，则连接AP，作它的中垂线，是和圆相离，故不成立．

解答：（1）设AP与⊙O相切于点H，如图，
连接OH，则OH⊥AP，
∴AH=

OA2-OH2

=

62-( 3 )2

=

33

，
由△AHO∽△AOP得

OH

OP

=

AH

OA

，
∴

3

OP

=

33

6

，
则OP=

6 11

11

，
∴t=

6 11

11

．

（2）①设直线l与⊙O相切于点F，当P在OC上时，如图，连接OF，
设OG=x，AE=y，则AG=6-x，AP=2y．
由△OFG∽△AEG，得

OF

AE

=

OG

AG

，即

3

y

=

x

6-x

，
由△AEG∽△AOP得

AE

AO

=

AG

AP

，即

y

6

=

6-x

2y

，解得

x=2 y=2 3

，
（或△OFG∽△AOP得

AP

OG

=

AO

OF

，即

2y

x

=

6

3

）
∴OP=

(2y)2-62

=

(4 3 )2-62

=2

3

，即t=2

3

．
②当P在AB上时，如图，AE=OQ=

3

，∴AP=2AE=2

3

，t=4+6+4-2

3

=14-2

3

．
③当P在BC上时，则连接AP，做它的中垂线，是和圆相交，故不成立．
综上，当t=2

3

或14-2

3

时，直线l与⊙O相切．

点评：本题是一道综合题，考查了切线的判定和性质、坐标和图形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度较大．