Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴；
∵BD=x，
∴CD=BC﹣BD=﹣x．
∴，
∴CE=x﹣x²．
∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x²）=x²﹣x+1．即y=x²﹣x+1．
（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD∽△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=﹣1．
∵BD=CE，
∴AE=AC﹣CE=2﹣．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE=AC=．AE的长为2﹣或．