Question

10．已知，抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于A点与x轴正半轴交于A′，点M为第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时，△AMA′的面积最大，最大面积为多少．

Answer 1

分析 连接OM，由二次函数的解析式求出A′坐标，根据三角形面积求出△AMA′的面积，配方即可得到△AMA'的最大面积和M的坐标．

解答 解：连接OM，如图所示：
由y=0得：-x²+2x+3=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A′（3，0），
设M点的坐标为：（m，n），
∵点M在抛物线上，
∴n=-m²+2m+3，
∴S_△AMA′=S_△AMO+S_△OMA′-S_△AOA′
=$\frac{1}{2}$OA•m+$\frac{1}{2}$OA′•n-$\frac{1}{2}$OA•OA′
=$\frac{3}{2}$（m+n）-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$（m+n-3），
将n=-m²+2m+3代入，原式=-$\frac{3}{2}$（m²-3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵0＜m＜3，
∵m=$\frac{3}{2}$时，n=$\frac{15}{4}$，△AMA'的面积最大S_△AMA'=$\frac{27}{8}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
即M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，△AMA′的面积最大，最大面积为$\frac{27}{8}$．

点评 本题着重考查了二次函数的最值问题、三角形面积的计算；综合性强，求出三角形的面积是关于m的二次函数是解决问题的关键．