Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）。

（1）点A的坐标是________，点C的坐标是________；
（2）当t=______秒或______秒时，MN=AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由。

Answer 1

解：（1）（4，0）；（0，3）；
（2）2；6；
（3）当0＜t≤4时，OM=t，
由△OMN∽△OAC，得，
∴ON=，S=；
当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，∴AD= t-4，
由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-，
由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t，∴CN=t-4，
∴S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
     =12--（8-t）（6-）-
     =。
（4）S有最大值，
当0＜t≤4时，
∵抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，
∴ 当t=4时，S可取到最大值=6；
当4＜t＜8时，
∵抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6），
∴ S＜6，
综上，当t=4时，S有最大值6。