Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B为正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=（m≠0）的交点，过点A作AC平行于x轴，过点B作BC平行于y轴，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N，若∠BAC=60°，AB=4，
（1）求k与m的值；
（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点p在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；
（3）当△PQC的面积为时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）根据反比例函数图形的对称性可知点A、B关于原点对称，
∵∠BAC=60°，AB=4，
∴∠BON=60°，OB=AB=2，
∴在△BON中，ON=OBcos60°=1，BN=OBsin60°=，
∴点B的坐标是（1，），点A的坐标为（-1，-），
∴k×1=，=，
解得k=，m=；

（2）∵∠QON+∠NOP=90°，∠MOP+∠NOP=90°，
∴∠QON=∠MOP，
又∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OMP∽△OQN，
∴=，
即=，
解得QN=x，
在Rt△PCQ中，L===；
∴L与x的函数关系式为L=；

（3）S_△PQC=PC×CQ=（1-x）（x+）=，
整理得x²+2x=0，
解得x₁=0或x₂=-2，
此时点P的坐标为（0，-）或（-2，-）．
分析：（1）根据反比例函数的对称性可知点A、B关于原点对称，所以OB=2，然后在△BON中，求出ON、BN的长度，坐标可得，再代入两函数解析式即可求出k、m的值；
（2）先证明△OMP与△OQN相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，用x表示出ON，在△PQC中，利用勾股定理即可得到L与x的函数关系式；
（3）利用三角形的面积公式，△PQC的面积=PC×CQ，然后代入数据进行计算即可求出x的值，则点P的坐标可得．
点评：本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形对应边成比例，勾股定理，综合性较强，难度较大．