Question

已知抛物线y=x²-2x-m与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）如果A（n-1，n²）、B（n+3，n²）是抛物线上的两个不同点，求n的值和抛物线的表达式；
（3）如果反比例函数y=

k

x

的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x₀，且满足4＜x₀＜5，请直接写出k的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）抛物线与x轴有两个交点，则△=b²-4ac＞0，从而求出m的取值范围．
（2）首先利用抛物线上两个不同点A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的纵坐标相同，得出点A和点B关于抛物线的对称轴对称，进而求出m的值，即可得出二次函数解析式，即可得出n的值；
（3）根据当4＜x₀＜5时，对于y=x²-2x-3，y随着x的增大而增大，再利用x=4和5时y的值得出k的取值范围．

解答：解：（1）根据题意得，△=4+4m＞0，
解得 m＞-1；

（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x=1，点A和点B是抛物线上的两个对称点，
则

n-1+n+3

2

=1，
解得n=0，
∴点A（-1，0），
∴y=x²-2x-3；

（3）当4＜x₀＜5时，
对于y=x²-2x-3，y随着x的增大而增大，
对于y=

k

x

，y随着x的增大而减小．
所以当x₀=4时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得

k

4

＞4²-2×4-3
解得：k＞20．
当x₀=5时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得5²-2×5-3＞

k

5

，
解得k＜60．
所以k的取值范围为：20＜k＜60．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数与不等式等知识，根据二次函数图象上点的特征得出n的值是解题关键．