Question

2．（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
当x=-5时，代数式x²-2x+2＞1；
当x=1时，代数式x²-2x+2=1；…
（2）归纳与证明：
换几个数再试试，根据前面的实验观察你能发现怎样的规律？请写出来，并说明它是正确的；
（3）拓展与应用：
求代数式a²+b²-6a-8b+30的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案；
（2）首先把代数式变形为（x-1）²+1，根据非负数的性质可得，（x-1）²≥0，进而得到（x-1）²+1≥1；
（3）首先把代数式化为（a-3）²+（b-4）²+5，根据偶次幂具有非负性可得（a-3）²≥0，（b-4）²≥0，进而得到（a-3）²+（b-4）²+5≥5．

解答 解：（1）把x=-5代入x²-2x+2中得：25+10-2=33＞1；
把x=1代入x²-2x+2中得：1-2+1=1；

（2）∵x²-2x+2=x²-2x+1+1=（x-1）²+1，
X为任何实数时，（x-1）²≥0，
∴（x-1）²+1≥1；

（3）a²+b²-6a-8b+30=（a-3）²+（b-4）²+5．
∵（a-3）²≥0，（b-4）²≥0，
∴（a-3）²+（b-4）²+5≥5，
∴代数式a²+b²-6a-8b+30的最小值是5．

点评 此题主要考查了配方法的运用，非负数的性质，关键是掌握偶次幂具有非负性．