我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆 .如果一条直线与“蛋圆只有一个交点.那么这条直线叫做“蛋圆的切线．如图.点A.B.C.D分别是“蛋圆与坐标轴的交点.已知点D的坐标为.AB为半圆的直径.半圆圆心M的坐标为(1.0).半圆半径为2．(1)求“蛋圆抛物线部分的解析式.并写出自变量的取值范围,(2)求出经过点C的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式；
（3）P点在线段OB上运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交BD于点F．连结DE和BE后，是否存在这样的点E，使△BDE的面积最大？若存在，请求出点E的坐标和△BDE面积的最大值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用交点式将已知点代入求出函数解析式即可；
（2）首先求出C点坐标，进而得出G点坐标，进而得出直线CG的解析式；
（3）利用S_△BDE=S_△DEF+S_△BEF，表示出|EF|的长，进而得出二次函数最值求出即可．

解答解：（1）由题得A（-1，0），B（3，0），
设抛物线为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过D（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
解得a=1，y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）如图：连结CM，过C作“蛋圆”切线交x轴于G
在Rt△COM中，∵OM=1，CM=2，
∴∠OCM=30°，∠CMO=60°，
∴CO=$\sqrt{3}$，即C（0，$\sqrt{3}$），
又∵CG切“蛋圆”于C，
∴∠GCM=90°，
∴∠G=30°，
在Rt△GMC中，GM=2CM=4，
∴G（-3，0），
设直线CG的解析式为y=kx+b，
∵直线CG过点C、G两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}=b\\ 0=-3k+b\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.$．
∴直线CG的解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$；

（3）存在点E，坐标为$（\frac{3}{2}，-\frac{15}{4}）$，
由B（3，0），D（0，-3）可得直线BD的解析式为y=x-3
设P（m，0）则F（m，m-3），E（m，m²-2m-3），
S_△BDE=S_△DEF+S_△BEF
=$\frac{1}{2}×|EF|×m+\frac{1}{2}×|EF|×（3-m）$
=$\frac{1}{2}×|EF|×3$，
|EF|=m-3-（m²-2m-3）=-m²-3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△BDE=$\frac{1}{2}$[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]×3=$-\frac{3}{2}{（m-\frac{3}{2}）^2}+\frac{27}{8}$，
∵0≤m≤3，
∴当$m=\frac{3}{2}$时△BDE的面积最大，最大面积为$\frac{27}{8}$，
此时E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$）．

点评此题主要考查了二次函数综合以及交点式求二次函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式等知识，表示出EF的长是解题关键．

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