Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=DC=12，AD=BC=4$\sqrt{3}$，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边三角形△APQ，且△APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧．（备注：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°）
（1）当t为何值时，Q点在线段DC上？当t为何值时，C点在线段PQ上？
（2）设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）设△APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）求出DQ，即可求出AP，即可得出答案，求出BP，求出AP即可；
（2）分为三种情况：画出图形，BM=MN，BN=MN．BM=BN，根据等腰三角形的性质求出即可．
（3）分为四种情况，画出图形，①0≤t≤8，②8＜t≤12，③12＜t＜16，④t≥16，求出各个三角形的面积，根据图形即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，当Q点在线段DC上时，
∵AD=4$\sqrt{3}$，∠ADQ=90°，∠DAQ=90°-60°=30°，
∴设DQ=x，则AQ=2x，
∴（4$\sqrt{3}$）²+x²=（2x）²，
解得：x=4，
∴AP=8，
∴t=8，
∴当t=8秒时，Q在线段DC上，
如图2：∵当C在PQ上时，点P在AB延长线上，
由题意得：BP=$\frac{BC}{tan60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4，
∴AP=AB+BP=12+4=16，
∴t=16，
∴当t=16秒时，点C在线段PQ上．
（2）△BMN是等腰三角形，
分为三种情况：
①如图3，
当BN=MN时，
∵∠NMB=∠NBM=30°，
∴∠ANM=60°，
∴此时Q点在BD上，
P点与N重合，
∴AP=AN=6，
∴t=6；
②如图4，当BM=BN时，作ML⊥AB于L，
∵BM=BN，
∴BL=BM•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
ML=BM•sin30°=3，LP=$\sqrt{3}$，
BP=MP=2$\sqrt{3}$，
∴AP=12-2$\sqrt{3}$，
∴t=12-2$\sqrt{3}$；
③如图5，当BM=MN时，∠MNB=∠MBN=30°，
∵∠QPA=60°，
∴∠NMP=90°
∴BP=MP=$\frac{1}{2}$NP，
∴BP=2，AP=10，
∴t=10，
综合上述，当t=6秒或（12-2$\sqrt{3}$）秒或10秒时，
△BMN是等腰三角形．
（3）①当0≤t≤8时，过Q作QR⊥AP于R，如图6所示：
∵△APQ是等边三角形，
∴QA=QP=t，∠QAP=60°，
∴AR=PR=$\frac{1}{2}$t，
∴由勾股定理得：QR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=S_△AQP=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
即S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²；
②如图7，当8＜t≤12时，
∵在Rt△ADF中，∠ADF=90°，∠DAF=90°-60°=30°，AD=4$\sqrt{3}$，
∴DF=AD×tan30°=4，
过Q作QR⊥AP于R，交DC于W，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴△QFO∽△QAP，
∴$\frac{FO}{AP}$=$\frac{QW}{QR}$，
∴$\frac{FO}{t}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}t-4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}t}$，
∴FO=t-8，
∴S=S_△APQ-S_△QFO=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{1}{2}$（t-8）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-8），
S=4$\sqrt{3}$t-16$\sqrt{3}$；
③如图8，当12＜t＜16时，
∵BP=t-12，∠P=60°，
∴BS=$\sqrt{3}$（t-12），
∴CS=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$（t-12）=16$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵∠CSO=∠BSP=90°-60°=30°，
∴CO=$\frac{CS}{\sqrt{3}}$=16-t，
∴S=S_△AQP-S_△QFO-S_△SBP
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{1}{2}$（t-8）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-8）-$\frac{1}{2}$（t-12）×$\sqrt{3}$（t-12）
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+16$\sqrt{3}$t-88$\sqrt{3}$；
④当t≥16时，如图9，
∵Rt△ADF中，AD=4$\sqrt{3}$，∠DAF=90°-60°=30°，
∴DF=AD•tan30°=4，
∴S=S_梯形CFAB=$\frac{1}{2}$×（CF+AB）×BC=$\frac{1}{2}$×（12-4+12）×4$\sqrt{3}$=40$\sqrt{3}$，
即S=40$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了三角形的面积、勾股定理、矩形的性质、等边三角形的性质和判定、三角函数等知识；题目比较好，综合性强，难度较大，用了分类讨论思想．