Question

5．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥DC，AB=6，AD=DC=3．
（1）如图1，点E是AB上的一点，以AE为边在梯形ABCD内作正方形AEFG，当正方形的顶点F恰好落在对角线BD上时，求线段AE的长；
（2）如图2，将（1）中的正方形AEFG沿AB向右平移，记平移后的正方形为A₁E₁F₁G₁，当点E₁与点B重合时停止移动．设平移的距离为s，正方形A₁E₁F₁G₁的边E₁F₁与BD的交于点M，A₁G₁所在的直线与BD的交于点N，连接A₁M．
①证明：在上述平移过程中，线段MN的长为定值，并确定s的值，使得△A₁MN是等腰三角形；
②在上述平移过程中，当正方形A₁E₁F₁G₁与△BCD的重叠部分是五边形时，请你在图3中画出一个满足条件的五边形，并直接写出s的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AE=x，则EF=x，BE=6-x，证明△BEF∽△BAD，利用相似比得到$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{3}$，然后根据比例性质求出x即可；
（2）①作MP⊥A₁N于P，如图2，在Rt△ABD中利用勾股定理计算出BD=3$\sqrt{5}$，根据平移和矩形的性质易得MP=A₁E₁=2，再证明△MNP∽△BDA，则利用相似比可计算出MN=$\sqrt{5}$；
分类讨论：当MN=MA₁=$\sqrt{5}$时，在Rt△A₁E₁M中利用勾股定理可计算出ME₁=1，再证明△BME₁∽△BDA，则利用相似比可计算出BE₁=2，然后计算AA₁即可得到对应s的值；当NM=NA₁=$\sqrt{5}$时，利用△BNA₁∽△BDA，可计算出BA₁=2$\sqrt{5}$，则s=AA₁=AB-BA₁=6-2$\sqrt{5}$；当A₁M=A₁N时，作A₁H⊥MN于H，如图2，根据等腰三角形的性质得NH=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，证明△NHA₁∽△DAB，利用相似比可计算出NA₁=$\frac{5}{2}$，接着证明△BNA₁∽△BDA，利用相似比计算出BA₁=5，则s=AA₁=1；
②作CI⊥AB于I，如图3（1），则AI=CD=3，而BI=AB-AI=3，则△BIC为等腰直角三角形，所以∠CBI=45°，当正方形，A₁E₁F₁G₁的顶点G₁落在BC上时，如图3（1），通过证明△BG₁A₁∽△BDA，再利用相似比可计算出BA₁=4，得到BE₁=2，此时s=AA₁=2，由于F₁E₁=2，则可判断F₁点落在BC上，所以当2＜s＜4时，正方形A₁E₁F₁G₁与△BCD的重叠部分是五边形，如图3（2）．

解答 （1）解：设AE=x，则EF=x，BE=6-x，
∵EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{EF}{AD}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{3}$，解得x=2，
即线段AE的长为2；
（2）①证明：作MP⊥A₁N于P，如图2，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵正方形AEFG沿AB向右平移得到正方形为A₁E₁F₁G₁，
∴MP=A₁E₁=2，
∵PM∥AB，
∴△MNP∽△BDA，
∴$\frac{MN}{BD}$=$\frac{MP}{BA}$，即$\frac{MN}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2}{6}$，解得MN=$\sqrt{5}$，
∴在上述平移过程中，线段MN的长为定值；
当MN=MA₁=$\sqrt{5}$时，在Rt△A₁E₁M中，ME₁=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1，
∵ME₁∥AD，
∴△BME₁∽△BDA，
∴$\frac{B{E}_{1}}{BA}$=$\frac{M{E}_{1}}{AD}$，即$\frac{B{E}_{1}}{6}$=$\frac{1}{3}$，解得BE₁=2，
∴s=AA₁=6-2-2=2；
当NM=NA₁=$\sqrt{5}$时，
∵NA₁∥AD，
∴△BNA₁∽△BDA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{BA}$=$\frac{N{A}_{1}}{DA}$，即$\frac{B{A}_{1}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，解得BA₁=2$\sqrt{5}$，
∴s=AA₁=6-2$\sqrt{5}$；
当A₁M=A₁N时，作A₁H⊥MN于H，如图2，则NH=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵NA₁∥AD，
∴∠A₁NH=∠ADB，
∴△NHA₁∽△DAB，
∴$\frac{N{A}_{1}}{DB}$=$\frac{NH}{DA}$，即$\frac{N{A}_{1}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{3}$，解得NA₁=$\frac{5}{2}$，
∵NA₁∥AD，
∴△BNA₁∽△BDA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{BA}$=$\frac{N{A}_{1}}{DA}$，即$\frac{B{A}_{1}}{6}$=$\frac{\frac{5}{2}}{3}$，解得BA₁=5，
∴s=AA₁=6-5=1；
②作CI⊥AB于I，如图3（1），则AI=CD=3，而BI=AB-AI=6-3=3，
∴BI=CI，
∴△BIC为等腰直角三角形，
∴∠CBI=45°，
当正方形，A₁E₁F₁G₁的顶点G₁落在BC上时，如图3（1），
∵G₁A₁∥AD，
∴△BG₁A₁∽△BDA，
∴$\frac{{G}_{1}{A}_{1}}{AD}$=$\frac{B{A}_{1}}{BA}$，即$\frac{2}{3}$=$\frac{B{A}_{1}}{6}$，解得BA₁=4，
∴BE₁=2，此时s=AA₁=2，
而F₁E₁=2，
∴F₁点落在BC上，
当正方形A₁E₁F₁G₁与△BCD的重叠部分是五边形时，2＜s＜4，如图3（2）．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握平移的性质、直角梯形和正方形的性质；灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长；会利用分类讨论的思想解决数学问题；取特殊位置找到解决几何变换的突破口．