Question

11．如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．

Answer 1

分析 作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，由于∠B=2∠C，则∠CBH=∠C，于是可判断△HBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得HE⊥BC，易得HE∥AD，根据平行线分线段成比例定理得$\frac{AH}{HC}$=$\frac{DE}{EC}$，接着根据角平分线的性质定理得$\frac{AH}{HC}$=$\frac{BA}{BC}$，则$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BA}{BC}$，然后把BC=2EC代入计算即可得到AB=6．

解答 解：作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，
∵BH平分∠ABC，
∴∠CBH=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠B=2∠C，
∴∠CBH=∠C，
∴△HBC为等腰三角形，
∵点E为BC的中点，
∴HE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴HE∥AD，
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{DE}{EC}$，
∵BH为∠ABC的平分线，
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{BA}{BC}$，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{BA}{BC}$，即$\frac{3}{EC}$=$\frac{BA}{2EC}$，
∴AB=6．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的判定与性质和角平分线性质．