Question

已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动。
(1) 求梯形ODPC的面积S与时间t的函数关系式。
(2) t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
(3) 在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形。若存在求t值，若不存在，说明理由。
(4) 当△OPD为等腰三角形时，求点P的坐标。

Answer 1

（1）由题意仪，根据梯形的面积公式，得
s==2t+10
（2）∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5
（3）∵ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=3
∴t=3
（4）当P₁O=OD=5时，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D时，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当P₃D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
当P₄D=OD=5时，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）

（1）根据梯形的面积公式就可以表示出S与t的函数关系式．
（2）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．
（3）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
（4）当P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5时分别作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐标．