Question

2．在△ABC中，AB=13，BC=12，CA=5，M是AB中点，点D与C在AB同侧，使DA=DB=7，则△CDM的面积为$\frac{357\sqrt{3}}{104}$．

Answer 1

分析 过C作CN⊥MD的延长线于N，设DM交AC于E，首先求出DM的长，然后利用△ABC∽△EBM和△CEN∽△BEM求出CM的长，最后利用三角形面积公式求出△CDM的面积．

解答 解：如图所示，过C作CN⊥MD的延长线于N，设DM交AC于E，
∵AB=13，BC=12，AC=5，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，AC⊥BC，
∵DM⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
∴AM=BM=CM=$\frac{13}{2}$，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{13}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ABC=∠EBM，∠ACB=∠BME=90°，
∴△ABC∽△EBM，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BM}{BC}$，
即$\frac{BE}{13}=\frac{\frac{13}{2}}{12}$，
∴BE=$\frac{169}{24}$，
∴CE=BC-BE=$\frac{119}{24}$，
∵CN⊥MN，AB⊥MN，
∴CN∥AB，
∴△CEN∽△BEM，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{CN}{\frac{13}{2}}=\frac{\frac{119}{24}}{\frac{169}{24}}$，
∴CN=$\frac{119}{26}$，
∴S_△CDM=$\frac{1}{2}$DM•CN=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{119}{26}$=$\frac{357\sqrt{3}}{104}$．

点评 本题主要考查了面积及等积变换的知识，此题涉及到勾股定理、相似三角形的判断与性质以及三角形面积的计算，解答本题的关键是两次利用三角形相似求出CN的长度，此题有一定的难度．