Question

13．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若点D是GE的中点，求$\frac{BD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出∠A=∠FCE，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）过E作EM∥BC，交AB于M，根据全等求出AE=EC，求出AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，推出△MED∽△BGD，求出BD=DM=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{4}$AB，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵AB∥FC，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FEC}\\{∠A=∠FCE}\\{DE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE；

（2）解：过E作EM∥BC，交AB于M，

∵△ADE≌△CFE，
∴AE=EC，
∵ME∥BC，
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是GE的中点，
∴DG=DE，
∵EM∥BC，
∴△MED∽△BGD，
∴$\frac{DE}{DG}$=$\frac{MD}{DB}$，
∴BD=DM=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{4}$AB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．