Question

3．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d₁、d₂．
[初步尝试]
小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：
（1）当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{1}$时，有EF=$\frac{a+b}{2}$；
（2）当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{2}$时，有EF=$\frac{a+2b}{3}$．
该同学思考研究（2）的过程如下：
作DG∥BC，交AB于G，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．
显然HF=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易证，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即，$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$
而由$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，得$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
代入上式，则$\frac{1}{3}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得EH=$\frac{1}{3}$（a-b）
∴EF=EH+HF=b+$\frac{1}{3}$（a-b）=$\frac{a+2b}{3}$
[类比发现]
沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{2}{1}$时，EF=$\frac{2a+b}{3}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{3}{1}$时，EF=$\frac{3a+b}{4}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{n}$时，EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{1}$时，EF=$\frac{ma+b}{m+1}$．（其中m、n均为正整数，下同）
[推广证明]
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$时，EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$；
请证明你的结论．
[实际应用]
请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题．
[情景]
如图2，有一块四边形耕地ABCD，AD∥BC，AD=100米，BC=300米，AB=500米，在AB上取点E，使AE=200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F．
[问题]
水渠EF的长为多少米？（提问即可，不必求解）

Answer 1

分析 作DG∥BC，交AB于G，交EF于点H，作DM⊥AB于点M，交EF于点N，则有HF=GB=CD=b，AG=AB-CD=a-b．易证，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，即$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，然后根据$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$的值求出$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$的值，从而求出EH，进而可求出EF（即EH+HF）的值．由于在求EF的值时用到AD、BC、AE、BE（AB-AE），因而可提出“水渠EF的长为多少米？”这个问题．

解答 解：[类比发现]作DG∥BC，交AB于G，交EF于点H，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．
显然HF=GB=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易证，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，
而由$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{2}{1}$，得$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
代入$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，得$\frac{2}{3}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得：EH=$\frac{2}{3}$（a-b），
∴EF=EH+HF=$\frac{2}{3}$（a-b）+b=$\frac{2a+b}{3}$．
同理：当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{3}{1}$时，EF=$\frac{3a+b}{4}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{n}$时，EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{1}$时，EF=$\frac{ma+b}{m+1}$；
故答案分别为：$\frac{2a+b}{3}$、$\frac{3a+b}{4}$、$\frac{a+nb}{n+1}$、$\frac{ma+b}{m+1}$；

[推广证明]当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$时，EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$．
证明：作DG∥BC，交AB于G，交EF于点H，作DM⊥AB于点M，交EF于点N．
则有HF=GB=CD=b，AG=AB-CD=a-b．
易证，△DEH∽△DAG，可得$\frac{DN}{DM}$=$\frac{EH}{AG}$，
即$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，
而由$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$，得$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{m}{m+n}$，
代入$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}{+d}_{2}}$=$\frac{EH}{a-b}$，得$\frac{m}{m+n}$=$\frac{EH}{a-b}$．
解得：EH=$\frac{m}{m+n}$（a-b），
∴EF=EH+HF=$\frac{m}{m+n}$（a-b）+b=$\frac{ma+nb}{m+n}$．
故答案为：$\frac{ma+nb}{m+n}$；

[问题]水渠EF的长为多少米？
故答案为：水渠EF的长为多少米？．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，突出了对提出问题的能力以及运用已有经验解决问题的能力的考查，正确的理解题意是解题的关键．