Question

12．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．
（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2：若∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可．

解答 解：（1）如图1，作EG∥AB，FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，
∴∠ABE+∠CDE=280°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，
∴∠ABF+∠CDF=140°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；

（2）∵∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴6∠M+∠E=360°．

点评 本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．