Question

20．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为15，PC=20，求弦CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=25，则PE=40．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．

解答 （1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=15，PC=20，
∴PO=25，PE=40．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=20：40=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x²+（2x）²=30²，
解得x=6$\sqrt{5}$，
∴CE=12$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．