Question

【题目】如图，在直角坐标系中，已知点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′，当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）a的值为2或6．

【解析】

（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；

（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．

解：（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，

∵△OAB是等边三角形，

∴∠AOB＝60°，OC＝OB，

∵B（8，0），

∴OB＝OA＝8，

∴OC＝4，AC＝．

把点A（4，）代入y＝，得k＝．

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）分两种情况讨论：

①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．

由题意得A′B′＝8，∠A′B′E＝60°，

在Rt△DEB′中，B′D＝4，DE＝，B′E＝2．

∴O′E＝6，

把y＝代入y＝，得x＝8，

∴OE＝8，

∴a＝OO′＝8﹣6＝2；

②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．

由题意得A′O′＝8，∠A′O′B′＝60°，

在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝2．

把y＝代入y＝，得x＝8，

∴OH＝8，

∴a＝OO′＝8﹣2＝6，

综上所述，a的值为2或6．