Question

函数y=x²+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b²-4c＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0；
④

b2+c2

=3

2

，其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由函数y=x²+bx+c与x轴无交点，可得b²-4c＜0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x²+bx+c＜x，继而可求得答案，由图象可知c=3，函数y=x²+bx+c的对称轴x=-

b

2a

=-

b

2

=

3

2

，得出b=-3，即可求得

b2+c2

=

(-3)2+32

=3

2

．

解答：解：∵函数y=x²+bx+c与x轴无交点，
∴b²-4ac＜0；
故①错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
故②正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x²+bx+c＜x，
∴x²+（b-1）x+c＜0．
故③正确；
∵函数y=x²+bx+c经过点（0，3），（3，3），
∴函数y=x²+bx+c的对称轴x=-

b

2a

=

3

2

，c=3，
∴b=-3，
∴

b2+c2

=

(-3)2+32

=3

2

，
故④正确；
故答案为②③④．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．