Question

如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．
（1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由等边三角形的性质，可证明△DCB≌△ACE，可得到BD=AE；
（2）结合（1）中△DCB≌△ACE，可证明△ACM≌△BCN，进一步可得到∠MCN=60°且CM=CN，可判断△CMN为等边三角形．

解答：证明：（1）∵△ABC、△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DCB和△ACE中，

AC=BC ∠BCD=∠ACE DC=DE

，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
（2）△CMN为等边三角形，理由如下：
由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，
∵AC=BC，AM=BN，
在△ACM和△BCN中，

AC=BC ∠CAM=∠CBN AM=BN

，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即可以利用全等来证明线段相等，也可以找角相等的条件．