Question

如图1，已知等边△ABC和等边△ADE有一公共顶点A，连结BE、DC交于G，则有∠BGC=60°．

（1）请你证明这个结论；
（2）若△ABC和△ADE都为等腰直角三角形，如图2，观察图形，写出结论并加以证明； 
（3）若△ABC和△ADE都为顶角是α的两个等腰三角形，如图3，你能得到什么结论？请写出这个结论；
（4）若△ABC和△ADE是顶角不相等的两个等腰三角形，还有与（3）相同结论成立吗？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE，求出∠BAE=∠DAC，证出△BAE≌△CAD，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE，求出∠BAE=∠DAC，证出△BAE≌△CAD，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可；
（3）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，求出∠BAE=∠DAC，证出△BAE≌△CAD，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）即可；
（4）根据已知不能推出∠ABE=∠ACD．

解答：（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA+∠ACB）
=180°-（∠EBC+∠EBA+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（60°+60°）
=60°；

（2）∠BGC=90°，
证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA+∠ACB）
=180°-（∠EBC+∠EBA+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（45°+45°）
=90°；

（3）∠BGC=α，
理由是：∵△ABC和△ADE是都为顶角是α的两个等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA+∠ACB）
=180°-（∠EBC+∠EBA+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-α）
=α；

（4）结论不成立，因为根据已知不能推出△BAE≌△CAD，即不能推出∠ABE=∠ACD．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠ABE=∠ACD，题目比较好，难度偏大．