Question

4．若二次函数y=ax²-2x+c（a＞0），当-2≤x≤3时的最大值等于6，最小值等于-3，a+c=-1或$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 首先对该二次函数作出形状与性质的初步判断，该函数开口向上，求得对称轴，根据对称轴所在位置进行分三种情况分类讨论求得．

解答 解：∵抛物线的对称轴为x=$\frac{2}{2a}$=$\frac{1}{a}$，
①当对称轴x=$\frac{1}{a}$在-2≤x≤3上时，
∴当x=$\frac{1}{a}$时，y=-3，当x=-2时，y=6或当x=3时，y=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+c}\\{6=4a+4+c}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3=\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+c}\\{6=9a-6+c}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{1}{4}$（舍去），a₂=1，a₃=$\frac{15+\sqrt{189}}{18}$（舍去），x=$\frac{15-\sqrt{189}}{18}$（舍去），
∴a=1，c=-2，
∴a+c=-1；
②对称轴x=$\frac{1}{a}$在x＜-2上；
当x=-2时，y=-3，x=3时，y=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+4+c=-3}\\{9a-6+c=6}\end{array}\right.$
解得a=$\frac{19}{9}$（不合题意，舍去），
③对称轴x=$\frac{1}{a}$在x＞3上，
当x=-2时，y=6，x=3时，y=-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+4+c=6}\\{9a-6+c=-3}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{5}$，c=$\frac{3}{4}$
∴a+c=$\frac{4}{5}$
故答案为-1或$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的最值，本题主要考查对$\frac{1}{a}$与x取值范围得讨论，比较复杂，有一定难度．