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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2 x+ 与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,已知点D(0,﹣ ).

(1)求直线AC的解析式;
(2)如图1,P为直线AC上方抛物线上的一动点,当△PBD面积最大时,过P作PQ⊥x轴于点Q,M为抛物线对称轴上的一动点,过M作y轴的垂线,垂足为点N,连接PM,NQ,求PM+MN+NQ的最小值;
(3)在(2)问的条件下,将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′,将△BPQ′沿直线BD平移,记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″,在平移过程中,设直线P′B′与x轴交于点E.则是否存在这样的点E,使得△B′EQ″为等腰三角形?若存在,求此时OE的长.

【答案】
(1)解:∵抛物线y=﹣ x2 x+ 与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,

∴A(﹣4,0),B(1,0),C(0, ),

设直线AC的解析式为y=kx+b,则有

∴k= ,b=

∴直线AC的解析式为y= x+


(2)解:如图1中,分别过D、B作x轴,y轴的平行线交于点K,连接PK.设P(m,﹣ m2 m+ ).

SPDB=SPDK+SPBK﹣SDKB

= 1(﹣ m2 m+ + )+ (1﹣m)﹣ 1

=﹣ (m+3)2+

∵﹣ <0,

∴m=﹣3时,△PBD的面积最大,此时P(﹣3, ),Q(﹣3,0).

如图2中,作Q关于y轴的对称点Q′,将Q′向左平移 个单位得到Q″,连接PQ″交抛物线对称轴于M,此时PM+MN+NQ最短.

易证四边形MNQ′Q″是平行四边形,

∴NQ=NQ′=Q″M,

∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN,

∵Q″( ,0),

∴PQ″= =

∴PM+MN+NQ的最小值为 +


(3)解:如图3中,

由(2)可知直线PB的解析式为y=﹣ x+ ,直线BD的解析式为y= x﹣

易证∠PBQ=30°,∠DBO=60°,PB⊥BD.

①当点Q″与Q重合时,∵∠B′EQ=∠QB′E=30°,

∴EQ=B′Q″=4,

∴OE=QE+OQ=7.

②如图4中,当B′E=B′Q″时作B′N⊥x轴于N.

∵B′E=B′Q″=4,∠B′EN=30°,

∴B′N= B′E=2,EN=2

∴B′( ,﹣2),

∴OE=2 + = ﹣1.

③如图5中,当EQ″=EB′时,作B′N⊥x轴于N.

易知EP′=EQ″=EB′= ,B′N= ,EN=2,

∴B′( ,﹣ ),

∴EO=

④如图6中,当B′E=B′Q″时,

易知B′E=B′Q″=4,

在Rt△BEB′中,BE=EB′÷cos30°=

∴OE=OB+BE= +1,

综上所述,满足条件的OE的值为7或 ﹣1或 +1.


【解析】(2)利用函数思想解决最值问题,设出未知数,把△PDB分割成S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB,用m的代数式分别表示出三个三角形的面积,构建出函数,配成顶点时,求出最值;几条线段的和PM+MN+NQ最小值问题可利用对称法,把线段和转化为一条直线上的线段即可;(3)等腰三角形的分类,可就哪两条边是腰分类:B′E=B′Q;或点Q″与Q重合;或B′E=B′Q″或EQ″=EB′或B′E=B′Q″即可求出OE的长.

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