【题目】如图,抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,已知点D(0,﹣ ).
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图1,P为直线AC上方抛物线上的一动点,当△PBD面积最大时,过P作PQ⊥x轴于点Q,M为抛物线对称轴上的一动点,过M作y轴的垂线,垂足为点N,连接PM,NQ,求PM+MN+NQ的最小值;
(3)在(2)问的条件下,将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′,将△BPQ′沿直线BD平移,记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″,在平移过程中,设直线P′B′与x轴交于点E.则是否存在这样的点E,使得△B′EQ″为等腰三角形?若存在,求此时OE的长.
【答案】
(1)解:∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,
∴A(﹣4,0),B(1,0),C(0, ),
设直线AC的解析式为y=kx+b,则有 ,
∴k= ,b= ,
∴直线AC的解析式为y= x+
(2)解:如图1中,分别过D、B作x轴,y轴的平行线交于点K,连接PK.设P(m,﹣ m2﹣ m+ ).
S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB
= 1(﹣ m2﹣ m+ + )+ (1﹣m)﹣ 1
=﹣ (m+3)2+ ,
∵﹣ <0,
∴m=﹣3时,△PBD的面积最大,此时P(﹣3,
如图2中,作Q关于y轴的对称点Q′,将Q′向左平移 个单位得到Q″,连接PQ″交抛物线对称轴于M,此时PM+MN+NQ最短.
易证四边形MNQ′Q″是平行四边形,
∴NQ=NQ′=Q″M,
∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN,
∵Q″( ,0),
∴PQ″= = ,
∴PM+MN+NQ的最小值为 +
(3)解:如图3中,
由(2)可知直线PB的解析式为y=﹣ x+ ,直线BD的解析式为y= x﹣ ,
易证∠PBQ=30°,∠DBO=60°,PB⊥BD.
①当点Q″与Q重合时,∵∠B′EQ=∠QB′E=30°,
∴EQ=B′Q″=4,
∴OE=QE+OQ=7.
②如图4中,当B′E=B′Q″时作B′N⊥x轴于N.
∵B′E=B′Q″=4,∠B′EN=30°,
∴B′N= B′E=2,EN=2 ,
∴B′( ,﹣2),
∴OE=2 + = ﹣1.
③如图5中,当EQ″=EB′时,作B′N⊥x轴于N.
易知EP′=EQ″=EB′= ,B′N= ,EN=2,
∴B′( ,﹣ ),
∴EO= .
④如图6中,当B′E=B′Q″时,
易知B′E=B′Q″=4,
在Rt△BEB′中,BE=EB′÷cos30°= ,
∴OE=OB+BE= +1,
综上所述,满足条件的OE的值为7或 ﹣1或 或 +1.
【解析】(2)利用函数思想解决最值问题,设出未知数,把△PDB分割成S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB,用m的代数式分别表示出三个三角形的面积,构建出函数,配成顶点时,求出最值;几条线段的和PM+MN+NQ最小值问题可利用对称法,把线段和转化为一条直线上的线段即可;(3)等腰三角形的分类,可就哪两条边是腰分类:B′E=B′Q;或点Q″与Q重合;或B′E=B′Q″或EQ″=EB′或B′E=B′Q″即可求出OE的长.
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【题目】如图,直线AB,CD相交于点O,OE是∠COB的平分线,∠FOE=90°,若∠AOD=70°.
(1)求∠BOE的度数;
(2)OF是∠AOC的平分线吗?请说明理由.
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【题目】如图,已知在正方形ABCD中,F是CD边上一点(不和C,D重合),过点D做DG⊥BF交BF延长线于点G.连接AG,交BD于点E,连接EF,交CD于点M.若DG=6,AG=7 ,则EF的长为 .
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【题目】一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于A,B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A的横坐标是1,tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABH面积.
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【题目】为传播奥运知识,小刚就本班学生对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计:A:熟悉,B:了解较多,C:一般了解.图1和图2是他采集数据后,绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)求该班共有多少名学生;
(2)在条形图中,将表示“一般了解”的部分补充完整;
(3)在扇形统计图中,计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数;
(4)如果全年级共1000名同学,请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数.
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【题目】小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间,并绘制了直方图.有以下说法:①小文同学一共统计了60人;②每天微信阅读不足20分钟的人数有8人;③每天微信阅读30~40分钟的人数最多;④每天微信阅读0-10分钟的人数最少.根据图中信息,上述说法中正确的是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④
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