【题目】如图,AB是⊙O的弦,AD是⊙O的直径,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为,OP=1,求∠BCP的度数.
【答案】(1)见解析;(2)∠BCP=60°
【解析】
(1)连接OB,如图,利用CP=CB得到∠1=∠2,再证明∠2=∠3,再根据垂直的定义得到∠3+∠A=90°,则可得到∠2+∠OBA=90°,然后根据切线的判定定理可得到结论;
(2)在Rt△OAP中利用三角函数得到∠3=60°,则∠2=60°,然后根据三角形内角和得到∠BCP的度数.
(1)连接OB,如图,∵CP=CB,∴∠1=∠2,而∠1=∠3,∴∠2=∠3.
∵CO⊥AD,∴∠3+∠A=90°,而OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠2+∠OBA=90°,即∠OBC=90°,∴OB⊥BC,∴BC是⊙O的切线;
(2)在Rt△OAP中,∵OP=1,OA,∴tan∠3,∴∠3=60°,∴∠2=60°,∴∠1=60°,∴∠BCP=60°.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=4cm,点C为线段AB上一动点,过点C作AB的垂线交⊙O于点D,E,连结AD,AE.设AC的长为xcm,△ADE的面积为ycm2.
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 ;
(2)通过取点、画图、测量、分析,得到了y与x的几组对应值,如下表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
y/cm2 | 0 | 0.7 | 1.7 | 2.9 |
| 4.8 | 5.2 | 4.6 | 0 |
(3)如图,建立平面直角坐标系xOy,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△ADE的面积为4cm2时,AC的长度约为 cm.
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【题目】有三张正面分别标有数字:-1,1,2的卡片,它们除数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽出一张记下数字,放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字.
(1)请用列表或画树形图的方法(只选其中一种),表示两次抽出卡片上的数字的所有结果;
(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x,第二次抽出的数字作为点的纵坐标y,求点(x,y)落在双曲线上的概率.
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【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.
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【题目】函数y=和y=在第一象限内的图象如图,点P是y=的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B.下面结论:
①PA与PB始终相等;②△OBP与△OAP的面积始终相等;
③四边形PAOB的面积不变;④PABD=PBAC.
其中一定正确的是_____(把你认为正确结论的序号都填上)
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【题目】如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD⊥CE 于点 D,AC 平分∠DAB.
(1) 求证:直线 CE 是⊙O 的切线;
(2) 若 AB=10,CD=4,求 BC 的长.
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【题目】水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高DE=30米,坝顶宽CD=10米,求大坝的截面的周长和面积.
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【题目】如图,已知抛物线与直线交于点O(0,0),。点B是抛物线上O,A之间的一个动点,过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C,E。
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若点C为OA的中点,求BC的长;
(3)以BC,BE为边构造条形BCDE,设点D的坐标为(m,n),求m,n之间的关系式。
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【题目】如图在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,2),B(3,4).
(1)画出△ABO向上平移2个单位,再向左平移4个单位后所得的图形△A′B′O′;
(2)写出A、B、O后的对应点A′、B′、O′的坐标;
(3)求两次平移过程中OB共扫过的面积.
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