Question

10．直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A是第一象限内的直线y=kx-4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是12？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出点C的坐标和点B的坐标，运用待定系数法求出k的值；
（2）根据三角形的面积公式求出点A的纵坐标，根据函数解析式求出点A的坐标；
（3）分OA=PA、OA=PO和OP=PA三种情况，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）y=kx-4，
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
∴OC=4，又$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$，
∴OB=3，即点B的坐标为（3，0），
3k-4=0，
解得，k=$\frac{4}{3}$；
（2）作AD⊥OB于D，
由题意得，$\frac{1}{2}$×OB×AD=12，
解得，AD=8，即点A的纵坐标为8，
$\frac{4}{3}$x-4=8，
解得，x=9，
∴当点A运动到（9，8）时，△AOB的面积是12；
（3）∵点A的坐标为（9，8），
∴OA=$\sqrt{145}$，
当OA=PA时，
∵AD⊥OP，OD=9，
∴OP=18，
点P的坐标为（18，0），
当OA=PO时，点P的坐标为（-$\sqrt{145}$，0）或（$\sqrt{145}$，0），
如图2，当OP=PA时，作PH⊥OA于H，
则△OHP∽△ODA，
∴$\frac{OH}{OD}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{\frac{\sqrt{145}}{2}}{9}$=$\frac{OP}{\sqrt{145}}$，
解得，OP=$\frac{145}{18}$，
点P的坐标为（$\frac{145}{18}$，0），
∴点P的坐标为（18，0）或（-$\sqrt{145}$，0）或（$\sqrt{145}$，0）或（$\frac{145}{18}$，0）时，△POA是等腰三角形．

点评 本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握坐标与图形的性质、一次函数图象上的坐标特点、等腰三角形的判定和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．