Question

17．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．
（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，AC=$\frac{24}{5}$，求GC的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，AB⊥DA，可得AD是⊙O的切线，又由DC是⊙O切线，根据切线长定理即可求得答案；
（2）由勾股定理求出EG、CF、BC长，根据△BGC∽△FGE求出$\frac{CG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{\frac{18}{5}}{6}$=$\frac{3}{5}$，则CG=$\frac{3}{8}$CF；利用勾股定理求出CF的长，则CG的长度可求得．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥DA，
∴AD是⊙O的切线，
∵DC是⊙O切线，
∴DA=DC．
（2）解：由切线长定理得：DO垂直平方AC，
∵AC=$\frac{24}{5}$，
∴AM=$\frac{12}{5}$，
在RT△MAO中，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴EM=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
在RT△EMC中，CE=$\sqrt{C{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圆周角定理）
∴△BGC∽△FGE，
∴$\frac{CG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{\frac{18}{5}}{6}$=$\frac{3}{5}$，
∵CF=CG+GF，$\frac{CG}{EG}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=$\frac{3}{8}$CF=$\frac{3}{8}$×$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{9}{10}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，综合性比较强，难度偏大．