Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点.

(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为2,∠B=45°，AC=4，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4π

【解析】

（1）根据切线的定义可知∠CAB=90°，有圆周角定理可知∠ADB=90°，E为斜边中点

（2）阴影部分的面积等于正方形AEDO的面积减去扇形AOD的面积．

(1)如图，连接AD，OD

∵AB是直径

∴∠ADB=90°

∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD

∠ADE=∠EAD，∠EDC=∠ECD

∵∠EAD+∠OAD=90°

∴∠ADE+∠ODA=90°

∴直线DE与⊙O相切

(2)由(1)可知△ACD与△ADB是直角三角形

若∠B=45°，则AC=AB=4，AE=EC=AO=DO=BO=2

∴四边形AEDO为正方形

阴影面积=正方形AEDO扇形AOD==4π