Question

12．如图，矩形ABD中，AB=8，BC=4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．
（1）求证：AE=FC
（2）求AE的长度．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得CD∥AB，则∠1=∠2，再根据菱形的性质得FH=GE，∠3=∠4，则利用等角的补角相等得∠AGE=∠CHF，然后根据“AAS”可判断△AEG≌△CHF，所以AE=CF；
（2）连结EF交AC于O点，如图，在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AC=4$\sqrt{5}$，再根据菱形性质得EF⊥AC，OG=OH，由△AEG≌△CHF得AG=CH，所以OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，然后证明△AOE∽△ABC，再利用相似比可计算出AE．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1=∠2，
∵四边形EGFH是菱形，
∴FH=GE，∠3=∠4，
∴∠AGE=∠CHF，
在△AEG和△CHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠AGE=∠CHF}\\{GE=HF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CHF，
∴AE=CF；
（2）解：连结EF交AC于O点，如图，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OG=OH，
∵△AEG≌△CHF，
∴AG=CH，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{AE}{4\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{8}$，
∴AE=5．

点评 本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有，矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．也考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．