新定义:我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“友好三角形．(1)把图一的等腰直角三角形分成两个三角形.使它们成为“友好三角形．(2)请在右边方格纸中.画两个三角形.使这两个三角形是“友好三角形．(3)已知:如图.⊙O的半径为2.弦$AB=2\sqrt{3}$.点C.D是⊙O上的两个动点．①当点C在劣弧AB上时.则有2个点D.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“友好三角形”．
（1）把图一的等腰直角三角形分成两个三角形，使它们成为“友好三角形”．
（2）请在右边方格纸（如图二）中，画两个三角形，使这两个三角形是“友好三角形”．
（3）已知：如图，⊙O的半径为2，弦$AB=2\sqrt{3}$，点C、D是⊙O上的两个动点．
①当点C在劣弧AB上时，则有2个点D，使得△ABD与△ABC是“友好三角形”．
②当点C在优弧AB上时，记点C到AB的距离为h，试探究点D的个数与h取值情况之间的关系，使得△ABD与△ABC是“友好三角形”．

分析（1）作BC边上的中线AD，△ABD与△ACD为“友好三角形”．
（2）利用“友好三角形”的定义得出，△ABC与△DEF为“友好三角形”．
（3）作OM⊥AB交AB于点M，连接AO，由⊙O的半径为2，弦$AB=2\sqrt{3}$，利用勾股定理得OM的值．
①由点C在劣弧AB上，可得点C到AB的距离0＜d≤1，分两种情况Ⅰ当0＜d＜1时，Ⅱd=1时分别求解即可；
②当点C在优弧AB上时，分Ⅰ当0＜h＜1时，Ⅱ当h=1时，Ⅲ当1＜h＜3时，Ⅳ当h=3时，分别求解即可．

解答解：（1）如图一，作BC边上的中线AD，△ABD与△ACD为“友好三角形”．

（2）如图二，△ABC与△DEF为“友好三角形”．

（3）①如图三，作OM⊥AB交AB于点M，连接AO，

∵⊙O的半径为2，弦$AB=2\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{A{O}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
∵点C在劣弧AB上，
∴点C到AB的距离0＜d≤1，
Ⅰ，当0＜d＜1时，如图四，

∵图中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，△ABD₄与△ABC面积相等，但△ABD₁，△ABD₂与△ABC全等，
∴有2个点，使△ABD与△ABC是“友好三角形”．
Ⅱ，d=1时，如图五，

∵图中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，与△ABC面积相等，但△ABD₁与△ABC全等，
∴有2个点，使△ABD与△ABC是“友好三角形”．
故答案为：2．
②Ⅰ，当0＜h＜1时，如图六，

∵图中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，△ABD₄与△ABC面积相等，但△ABD₁，△ABD₂与△ABC全等，
∴有2个点，使△ABD与△ABC是“友好三角形”．
Ⅱ，当h=1时，如图七，

∵图中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，与△ABC面积相等，但△ABD₁，△ABD₂与△ABC全等，
∴有1个点，使△ABD与△ABC是“友好三角形”．
Ⅲ，当1＜h＜3时，如图八，

∵图中有△ABD₁，△ABD₂与△ABC面积相等，但两个三角形与△ABC全等，
∴有0个点，使△ABD与△ABC是“友好三角形”．
Ⅳ，当h=3时，如图九，

∵图中只有△ABD与△ABC面积相等，但两个三角形全等，
∴有0个点，使△ABD与△ABC是“友好三角形”．

点评本题主要考查了圆的综合题，涉及等腰三角形的性质，作图，全等三角形的判定及等底等高的三角形面积相等，解题的关键是正确作图找出与△ABC面积相等的三角形，再利用“友好三角形”的定义求解．

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