Question

18．如图1，DC∥AB，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm．点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AB方向向点B运动，同时点Q以2cm/s的速度从点B出发，沿B→C→A方向向点A运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）①求证：△ACD∽△BAC；②求DC的长；
（2）当点Q在边BC上运动，求t为何值时，△PBQ的面积为$\frac{64}{5}$cm²；
（3）如图2，当点Q在边CA上运动，求t为何值时，PQ∥BC．

Answer 1

分析 （1）①根据DC∥AB，得到∠ACD=∠BAC，由于∠D=90°，AC⊥BC，于是得到∠D=∠ACB=90°，就可得到△ACD∽△BAC；
②在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=$\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}$=8（cm），根据△ACD∽△BAC，列比例式即可得到结果；
（2）如图1，点Q在边BC上运动，此时，0＜t≤3，过点Q作QE⊥AB于E，根据三角函数sinB=$\frac{QE}{QB}=\frac{AC}{AB}$，即 $\frac{QE}{2t}=\frac{8}{10}$，求得QE=$\frac{8}{5}$t，根据三角形的面积列方程即可得到结论；
（3）如图2，当点Q在边CA上运动，$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$时，PQ∥BC，列比例式得方程解得结果．

解答 解：（1）①∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，
又∵∠D=90°，AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC，
②在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC=$\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}$=8（cm），
∵△ACD∽△BAC，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
即 $\frac{DC}{8}=\frac{8}{10}$．
解得DC=6.4（cm）；

（2）如图1，点Q在边BC上运动，此时，0＜t≤3，
过点Q作QE⊥AB于E，
∴sinB=$\frac{QE}{QB}=\frac{AC}{AB}$，即 $\frac{QE}{2t}=\frac{8}{10}$，
解得 QE=$\frac{8}{5}$t，
∴$\frac{1}{2}$BP•QE=$\frac{1}{2}$（10-t）•$\frac{8}{5}$t=$\frac{64}{5}$，
整理，得 t²-10t+16=0，
解这个方程，得t₁=2，t₂=8 （不合题意，舍去），
∴当点Q在边BC上运动，t=2s时，△PBQ的面积为$\frac{64}{5}$cm²，

（3）如图2，当点Q在边CA上运动，$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$时，PQ∥BC，
∴即 $\frac{14-2t}{8}=\frac{t}{10}$，
解得 t=5．
∴当点Q在边CA上运动，t=5s时，PQ∥BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，注意方程思想在本题中的应用．