Question

【题目】如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．

（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数 的图象与直线AB相交于C、D两点，若 ，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（m，0），B（0，n），

∴OA=m，OB=n．

∴S△AOB= ．

∵m+n=20，

∴n=20﹣m，

∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ （m﹣10）2+50

∵a=﹣ ＜0，

∴抛物线的开口向下，

∴m=10时，S最大=50

（2）

解：∵m=10，m+n=20，

∴n=10，

∴A（10，0），B（0，10），

设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得： ，

y=﹣x+10．

∵ ，

∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a，

∴S△OBD=S△OAC=a，

∴S△AOB=10a，

∴10a=50，

∴a=5，

∴S△OAC=5，

∴ OAy=5，

∴y=1．

1=﹣x+10，

x=9

∴C（9，1），

∴1= ，

∴k=9；

（3）

解：移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），

O′A=10﹣t，O′E=10．

∵C′D′∥CD，

∴△O′C′D′∽△O′CD，

∴ ，

∴

S=40 ，

∴ （0＜t＜10）．

【解析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．