Question

【题目】如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

又∵点F在CB的延长线上，

∴AD∥CF，

∴∠1=∠2．

∵点E是AB边的中点，

∴AE=BE．

∵在△ADE与△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS）

（2）解：CE⊥DF．理由如下：

如图，连接CE．

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．

∵DF平分∠ADC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴CD=CF，

∴CE⊥DF．

【解析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三线合一”的性质推知CE⊥DF．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．