【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,点E是BC的中点,AE与BD交于点F,且F是AE的中点.
(Ⅰ)求证:四边形AECD是菱形;(Ⅱ)若AC=4,AB=5,求四边形ABCD的面积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)15.
【解析】
(Ⅰ)先证四边形ADCE是平行四边形,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE,即可得四边形AECD是菱形;
(Ⅱ)由题意可求S△AEC=S△ACD=S△ABC,即可求四边形ABCD的面积.
证明(Ⅰ)∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBE
∵F是AE中点
∴AF=EF且∠AFD=∠BFE,∠ADB=∠DBE
∴△ADF≌△BEF
∴BE=AD
∵AB⊥AC,E是BC中点
∴AE=BE=EC
∴AD=EC,且AD∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形
且AE=EC
∴四边形ADCE是菱形;
(Ⅱ)∵AC=4,AB=5,AB⊥AC
∴S△ABC=10
∵E是BC中点
∴S△AEC=S△ABC=5
∵四边形ADCE是菱形
∴S△AEC=S△ACD=5
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=15.
故答案为:(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)15.
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【题目】新冠肺炎疫情爆发以来,学生们都在家里上网课,为了了解学生在家上网课使用的设备种类,47中学校初二学年在本学年内随机抽取部分学生进行问卷调查,要求学生在“台式电脑、笔记本电脑、平板电脑、手机、网络电视”五类设备中,选取自己经常使用的一种(必选且只选一种),学年将收集到的调查结果适当整理后,绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图;
(3)若47中学初二学年共有1000名学生,估计该校初二学年使用手机上课的学生有多少名?
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,点G为边BC的中点,点D从点C出发沿CA向点A运动,到点A停止,以GD为边作正方形DEFG,则点E运动的路程为_______.
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【题目】如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
(1)求证:直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
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【题目】一副直角三角尺叠放如图 1 所示,现将 45°的三角尺ADE 固定不动,将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动(旋转角不超过 180 度),使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图 2:当∠BAD=15°时,BC∥DE.则∠BAD(0°<∠BAD<180°)其它所有可能符合条件的度数为________.
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【题目】“大美武汉,畅游江城”.某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校部分学生,要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点,下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图:
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求被调查的学生总人数;
(2)补全条形统计图,并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有1200名学生,请估计“最想去景点B“的学生人数.
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【题目】设M(m,n)在反比例函数y=﹣ 上,其中m是分式方程 ﹣1= 的根,将M点先向上平移4个单位,再向左平移1个单位,得到点N.若点M,N都在直线y=kx+b上,直线解析式为( )
A.y=﹣ x﹣
B.y= x+
C.y=4x﹣5
D.y=﹣4x+5
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